Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(SA\perp\left(ABC\right)\) và \(SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(SA\perp\left(ABC\right)\) và \(SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
Ta có : \(\left(SBC\right)\cap\left(ABC\right)=BC\)
Lấy H là TĐ của BC \(\Rightarrow AH\perp BC\)
SA \(\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp AB;AC\)
\(\Delta SAB;\Delta SAC\perp\) tại A có : \(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=\sqrt{SA^2+AC^2}=SC\)
\(\Rightarrow\Delta SBC\) cân tại S . Suy ra : \(SH\perp BC\)
Suy ra : \(\left(\left(SBC\right);\left(ABC\right)\right)=\left(HA;HS\right)=\widehat{SHA}\)
Tính được : AH = \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\Delta SAH\) vuông tại A có : \(tan\widehat{SHA}=\dfrac{SA}{HA}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}:\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=1\Rightarrow\widehat{SHA}=45^o\)
Vậy ...
Cho hình chóp S.ABC có S A ⊥ A B C và A B ⊥ B C gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?
A. Góc SCA
B. Góc SIA
C. Góc SCB
D. Góc SBA
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?
A. Góc SCA.
B. Góc SIA.
C. Góc SCB.
D. Góc SBA.
Chọn D
Ta có SA ⊥ (ABC) => BC ⊥ SA
Theo giả thiết ta lại có BC ⊥ AB => BC ⊥ (SAB)
Khi đó ((SBC),(ABC))=(AB,SB)= S B A ^
Cho chóp \(S.ABC,SA\perp\left(ABC\right),\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) , \(SA=AB=a\).Tính góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(SBC\)
Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow AM\perp BC\) (trung tuyến đống thời là đường cao)
Mà \(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\)
\(\Rightarrow BC\perp\left(SAM\right)\)
Trong tam giác vuông SAM, kẻ đường cao \(AH\perp SM\)
\(\Rightarrow BC\perp AH\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ASH}\) hay \(\widehat{ASM}\) là góc giữa SA và (SBC)
\(AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}AB\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(tan\widehat{ASM}=\dfrac{AM}{SA}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\widehat{ASM}\approx35^016'\)
1.Cho hình chóp S.ABC có \(\Delta ABC\) vuông cân tại C có AC=a
\(SA\perp\left(ABC\right)\) và \(SA=a\sqrt{3}\)
a) Tính góc giữa \(SB\) và (ABC), SB và (SAC)
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC), (SAC) và (ABC)
\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AB\) là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC)
\(\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa SB và (ABC)
\(AB=AC\sqrt{2}=a\sqrt{2}\)
\(tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\Rightarrow\widehat{SBA}\approx50^046'\)
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AC\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)
\(\Rightarrow SC\) là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAC)
\(\Rightarrow\widehat{BSC}\) là góc giữa SB và (SAC)
\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{5}\) ; \(BC=AC=a\)
\(sin\widehat{BSC}=\dfrac{BC}{SB}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow\widehat{BSC}\approx26^034'\)
b.
Theo cmt, \(BC\perp\left(SAC\right)\)
Mà \(BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABC\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa (SBC) và (ABC)
\(tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SCA}=60^0\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\\SA\in\left(SAC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(ABC\right)\)
\(\Rightarrow\) Góc giữa (SAC) và (ABC) là 90 độ
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,AB=a,SA\perp AB,SC\perp BC,SB=2a.\)Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(SA,BC\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa \(MN\) với \(\left(ABC\right)\) .Tính \(cos\alpha\).
Gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)
\(SD\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SD\perp AB\) , mà \(AB\perp SA\left(gt\right)\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp AD\)
\(\Rightarrow AD||BC\)
Tương tự ta có: \(BC\perp\left(SCD\right)\Rightarrow BC\perp CD\Rightarrow CD||AB\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác ABCD là hình vuông
\(\Rightarrow BD=a\sqrt{2}\)
\(SD=\sqrt{SB^2-BD^2}=a\sqrt{2}\)
Gọi P là trung điểm AD \(\Rightarrow MP\) là đường trung bình tam giác SAD
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MP=\dfrac{1}{2}SD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\\MP||SD\Rightarrow MP\perp\left(ABC\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\alpha=\widehat{MNP}\)
\(cos\alpha=\dfrac{NP}{MN}=\dfrac{NP}{\sqrt{NP^2+MP^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)
Tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phửng (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng :
a) AH, SK và BC đồng quy
b) SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và \(\left(SAC\right)\perp\left(BHK\right)\)
c) HK vuông góc với mặt phẳng (SBC) và \(\left(SBC\right)\perp\left(BHK\right)\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\),\(BC=a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy ,\(SA=a\sqrt[]{3}\) .Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\).Tính cot góc giữa hai mặt phẳng \(\left(SBM\right)\) và \(\left(SAB\right)\).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, điểm I và H lần lượt là trung điểm của AB và BC. Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho MC=2MI, NA=2NS. Biết \(SH\perp\left(ABC\right)\), chứng minh \(MN\perp\left(ABC\right)\)
Có MC=2MI mà MI là đường trung tuyến của của \(\Delta ABC\)
=>M là trọng tâm của tam giác ABC=>A,M,H thẳng hàngTrong mp(SAH)có :AN=2NS;AM=2MH=>MN//SH (Thales)Mà \(SH\perp\left(ABC\right)\);SH ko thuộc (ABC)=>MN vuông góc với (ABC)
P/s: Gợi ý này ok rồi nhé :> Mà sao ko thấy kí hiệu "ko thuộc" nhờ :v
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),AC \bot BC,\)\(SA = BC = a\sqrt 3 ,AC = a\)(Hình 99).
a) Tính góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).
b) Tính góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
c) Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\).
d) Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).
g) Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\).
a) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC \Rightarrow \left( {SA,BC} \right) = {90^ \circ }\).
b) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\)
\(\Delta SAC\) vuông tại \(A \Rightarrow \tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SCA} = {60^ \circ }\)
Vậy \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = {60^ \circ }\).
c) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB,SA \bot AC\)
Vậy \(\widehat {BAC}\) là góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\).
\(\Delta ABC\) vuông tại \(C \Rightarrow \tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {BAC} = {60^ \circ }\).
d)
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\\AC \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = BC = a\sqrt 3 \end{array}\)
e) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC,AC \bot BC\)
\( \Rightarrow d\left( {SA,BC} \right) = AC = a\)
g) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}a.a\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
\(\begin{array}{l}h = SA = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}}}{2}\end{array}\)